Question

【題目】在數列與中，，數列的前n項和滿足，為與的等比中項，.

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）求數列與的通項公式；

（Ⅲ）設，證明

Answer 1

【答案】（Ⅰ）,（Ⅱ）,（Ⅲ）見解析

【解析】

（Ⅰ）根據得，解得，根據為與的等比中項，得，解得的值；（Ⅱ）根據和項與通項關系得通項遞推關系，再根據疊乘法得數列的通項公式，根據等比條件可得，再用數學歸納法得的通項公式；（Ⅲ）根據符號變化規律，分類求和，再比較大小證明不等式.

（Ⅰ）因為，所以，

因為為與的等比中項，

所以

（Ⅱ）

因此

所以

因為，所以，

因為為與的等比中項，

所以

下面用數學歸納法證明

（1）當時，，結論成立，

（2）假設當時，結論成立，即，

當時，結論成立，

綜合（1）（2）可得

（Ⅲ）因為，，

所以當時

當時

當時，

當時，

，

當時，

綜上.