如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是梯形，且AD=DC=CB=
AB．直角梯形ACEF中，
，
是銳角，且平面ACEF⊥平面ABCD．
（1）求證：
；
（2）若直線DE與平面ACEF所成的角的正切值是
，試求的余弦值．
（1）詳見試題解析；（2）
．
解析試題分析：（1）證明線線垂直，可轉化為證明線面垂直．要證，只要證
平面
，由已知平面ACEF⊥平面ABCD，故由面面垂直的性質定理知，只要證
．在等腰梯形ABCD中，由已知條件及平面幾何相關知識易得；（2）連結
交
于
，再連結EM，FM，易知四邊形
為菱形，∴DM⊥AC，注意到平面
平面
，故DM⊥平面．于是，
即為直線DE與平面ACEF所成的角．在
中由銳角三角函數可求得
的長，再在
中由銳角三角函數即可求得的余弦值．
試題解析：（1）證明：在等腰梯形ABCD中，∵AD=DC=CB=AB，∴AD、BC為腰，取AB得中點H，連CH，易知，四邊形ADCH為菱形，則CH=AH=BH,故△ACB為直角三角形，
． 3分
平面平面，且平面
平面
，
平面，而
平面，故
． 6分
（2）連結交于，再連結EM，FM，易知四邊形為菱形，∴DM⊥AC，注意到平面平面，故DM⊥平面．于是，即為直線DE與平面ACEF所成的角． 9分
設AD=DC=BC=
,則MD=
，
．依題意，
，
，在
中，
，∵=AM，四邊形AMEF為平行四邊形，
，
，
． 12分
考點：1．空間垂直關系的證明；2．空間角的計算．
口算小狀元口算速算天天練系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖五面體中,四邊形ABCD是矩形,DA⊥平面ABEF,AB∥EF,AB=
EF=2
,AF=BE=2,P、Q、M分別為AE、BD、EF的中點.
(1)求證:PQ∥平面BCE;
(2)求證:AM⊥平面ADF.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,M,N分別是B1C1,A1D1,A1B1,BD,B1C的中點,
求證:(1)MN∥平面CDD1C1.
(2)平面EBD∥平面FGA.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，BA＝BC.把△BAC沿AC折起到△PAC的位置，使得點P在平面ADC上的正投影O恰好落在線段AC上，如圖2所示．點E、F分別為棱PC，CD的中點．
(1)求證：平面OEF∥平面APD；
(2)求證：CD⊥平面POF；
(3)在棱PC上是否存在一點M，使得M到P，O，C，F四點距離相等？請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，四邊形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面BCE，BE⊥EC.
(1)求證：平面AEC⊥平面ABE；
(2)點F在BE上．若DE∥平面ACF，求
的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，三棱柱ABC-A1B1C1的側棱AA1⊥平面ABC,△ABC為正三角形，側面AA1C1C是正方形, E是
的中點,F是棱CC1上的點.
（1）當
時，求正方形AA1C1C的邊長；
（2）當A1F+FB最小時，求證：AE⊥平面A1FB.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E、F分別是線段AB、BC的中點．
(1)證明：PF⊥FD；
(2)判斷并說明PA上是否存在點G，使得EG∥平面PFD；
(3)若PB與平面ABCD所成的角為45°，求二面角A－PD－F的余弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側面
底面
，且△PAD為等腰直角三角形，
，E、F分別為PC、BD的中點.
（1）求證：EF//平面PAD；
（2）求證：平面
平面
.
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