Question

若函數f（x）滿足條件：當x₁，x₂∈[-1，1]時，有|f（x₁）-f（x₂）|≤3|x₁-x₂|成立，則稱f（x）∈Ω．對于函數g（x）=x³，h（x）=

1

x+2

，有（　�。�

• A、g（x）∈Ω且h（x）∉Ω
• B、g（x）∉Ω且h（x）∈Ω
• C、g（x）∈Ω且h（x）∈Ω
• D、g（x）∉Ω且h（x）∉Ω

Answer 1

分析：先對f（x）討論，利用立方差公式將|f（x₁）-f（x₂）|分解因式為|x₁-x₂|•|x₁²+x₁x₂+x₂²|，再根據自變量在閉區間[-1，1]上取值，可得|x₁²+x₁x₂+x₂²|≤x₁²+|x₁x₂|+x₂²≤3，因而|f（x₁）-f（x₂）|≤3|x₁-x₂|成立，得f（x）∈Ω；
再對g（x）討論，將差通分可得|g（x₁）-g（x₂）|=|

x1-x2

(x1+2)(x2+2)

|，根據自變量在閉區間[-1，1]上取值再結合倒數的方法證出

1

3

≤|

1

x1+2

|≤1且

1

3

≤|

1

x2+2

|≤1，可得故|

x1-x2

(x1+2)(x2+2)

|≤|x₁-x₂|，因而|g（x₁）-g（x₂）|≤3|x₁-x₂|成立，可得g（x）∈Ω

解答：解：根據題意得：
（1）|f（x₁）-f（x₂）|=|x₁³-x₂³|=|x₁-x₂|•|x₁²+x₁x₂+x₂²|
因為x₁，x₂∈[-1，1]，所以|x₁²+x₁x₂+x₂²|≤x₁²+|x₁x₂|+x₂²≤3
所以有|f（x₁）-f（x₂）|≤3|x₁-x₂|成立，可得f（x）∈Ω
（2）|g（x₁）-g（x₂）|=|

1

x1+2

-

1

x1+2

|=|

x1-x2

(x1+2)(x2+2)

|
因為x₁，x₂∈[-1，1]，所以|

1

x1+2

| ∈[

1

3

，1]，|

1

x2+2

| ∈[

1

3

，1]
故|

x1-x2

(x1+2)(x2+2)

|≤|x₁-x₂|≤3|x₁-x₂|
所以有|g（x₁）-g（x₂）|≤3|x₁-x₂|成立，可得g（x）∈Ω
綜合（1）（2）可得，g（x）∈Ω且h（x）∈Ω
故選C

點評：本題考查了函數恒成立的問題，屬于中檔題．做題時應該注意運用函數的簡單性質與不等式證明相結合技巧的應用．