Question

給出下列命題：
①函數y=sin（

3π

2

+x）是偶函數；
②函數y=cos（2x+

π

4

）圖象的一條對稱軸方程為x=

π

8

；
③對于任意實數x，有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），且x＞0時，f′（x）＞0，g′（x）＞0，則x＜0時，f′（x）＞g′（x）；
④若對?x∈R，函數f（x）滿足f（x+2）=-f（x），則4是該函數的一個周期．
其中真命題的個數為

3

．

Answer 1

分析：對于①，利用三角函數的誘導公式化簡函數再利用偶函數的定義判斷出①正確；對于②，通過整體角處理的方法求出對稱軸判斷出②不正確；對于③；根據奇偶性的定義判斷出兩個函數的奇偶性，再根據函數的單調性與導數的符號關系判斷出函數的單調性進一步得到③正確；對于④，通過仿寫等式得到f（x+4）=f（x）得到4是該函數的一個周期．得到④正確．

解答：解：對于①，因為y=sin（

3π

2

+x）=-cosx，是偶函數；故①正確；
對于②，因為函數y=cos（2x+

π

4

）圖象的對稱軸方程為2x+

π

4

=kπ，因為x=

π

8

不滿足對稱軸方程；故②不正確；
對于③；由于對于任意實數x，有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），
所以f（x）為奇函數；g（x）為偶函數；
又因為x＞0時，f′（x）＞0，g′（x）＞0，
所以f（x）在（0，+∞）上單調遞增；g（x）在（0，+∞）上單調遞增；
所以f（x）在（-∞，0）上單調遞增；g（x）在（-∞，0）上單調遞減；
所以x＜0時，f′（x）＞0；g′（x）＜0；
則x＜0時，f′（x）＞g′（x）；故③正確；
對于④，對?x∈R，函數f（x）滿足f（x+2）=-f（x），所以f（x+4）=-f（x+2），所以f（x+4）=f（x）
所以4是該函數的一個周期．故④正確；
所以①③④為真命題，
故答案為：3

點評：本題考查三角函數的誘導公式及利用整體角處理的方法求三角函數的性質；考查函數的單調性與導數符號的關系，屬于一道中檔題．