Question

在△ABC中，滿足：，M是BC的中點．
（I）若，求向量．與向量的夾角的余弦值；
（II）若O是線段AM上任意一點，且，求的最小值；
（3）若點P是∠BAC內一點，且，求的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用向量的數量積公式得到，利用向量的數量積公式展開，求出向量．與向量的夾角的余弦值；
（II）通過解三角形求出AM的長，設，則，利用向量的平行四邊形法則得到而
，利用向量的數量積公式將表示成關于x的二次函數，通過求二次函數的最值求出最小值．
（III）設∠CAP=α，將已知條件利用向量的數量積公式表示成關于α的三角函數，將平方轉化為關于α的三角函數，然后利用基本不等式求出其最小值．
解答：解：（I）設向量．與向量的夾角為θ
∴，
令=a
∴
（II）∵=，
∴
設，則，
而
∴
=-2x（1-x）=2x²-2x=
當且僅當時，的最小值是
（III）設∠CAP=α
∵
∴
∴
當且僅當
點評：解決向量的夾角問題，一般利用的是向量的數量積公式．是一道綜合題．