Question

（Ⅰ）解不等式：|2x﹣1|﹣|x|＜1；
（Ⅱ）設f（x）=x²﹣x+1，實數a滿足|x﹣a|＜1，求證：|f（x）﹣f（a）|＜2（|a|+1）．

Answer 1

解：（Ⅰ）當x＜0時，原不等式可化為﹣2x+x＜0，解得x＞0，
又∵x＜0，∴x不存在．
當時，原不等式可化為﹣2x﹣x＜0，解得x＞0，
又∵，∴．
當時，原不等式可化為2x﹣1﹣x＜1，解得x＜2，
又∵，∴．
綜上，原不等式的解集為{x|0＜x＜2}．                      
（Ⅱ）∵f（x）=x²﹣x+1，實數a滿足|x﹣a|＜1，
故|f（x）﹣f（a）|=|x²﹣x﹣a²+a|=|x﹣a||x+a﹣1|＜|x+a﹣1|
                               =|x﹣a+2a﹣1|≤|x﹣a|+|2a﹣1|＜1+|2a|+1=2（|a|+1）．
∴|f（x）﹣f（a）|＜2（|a|+1）．