Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形為正方形，四邊形為直角梯形， ， ．

（1）求與平面所成角的正弦值；

（2）線段或其延長線上是否存在點，使平面平面？證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】【試題分析】（1）以為坐標原點、方向為軸、方向為軸、方向為軸建立空間直角坐標系.通過計算直線的方向向量和平面的法向量來求線面角的正弦值.（2）設點的坐標為，計算平面和平面的法向量，通過兩個向量垂直數量積為零建立方程，求得的值.

【試題解析】

（1）解：以為坐標原點、方向為軸、方向為軸、方向為軸建立空間直角坐標系，

則點的坐標為、點的坐標為、點的坐標為、點的坐標為，點的坐標為，點的坐標為，

由， ， ，設平面的法向量為

由，取，則

故與平面所成角的正弦值．

（2）證明：設點的坐標為，則，

設平面的法向量為

由，取，則，

若平面平面，則，解得： ，

故點在的延長線上，且．