Question

【題目】在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為 （φ為參數，0≤φ≤π），曲線C2的參數方程為 （t為參數）．
（1）求C1的普通方程并指出它的軌跡；
（2）以O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，射線OM：θ= 與半圓C的交點為O，P，與直線l的交點為Q，求線段PQ的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：曲線C1的參數方程為 （φ為參數，0≤φ≤π），

消去參數φ可得普通方程：（x﹣2）2+y2=4．

∵0≤φ≤π，

∴0≤x≤4，0≤y≤2．

∴它表示上半圓，其圖象在x軸的上方及其x軸上的兩點（0，0），（4，0）．

（2）解：由半圓C：（x﹣2）2+y2=4，（0≤y≤2）化為極坐標方程：ρ=4cosθ，θ∈ ，

把 代入可得ρ=4 =2 ，

∴|OP|=2 ．

曲線C2的參數方程為 （t為參數），

消去參數t化為普通方程：x+y=6，

可得極坐標方程：ρcosθ+ρsinθ=6，

把θ= 代入可得：ρ= =3 =|OQ|．

∴|PQ|=|OQ|﹣|OP|=3 ﹣2 = ．

【解析】（1）曲線C1的參數方程為 （φ為參數，0≤φ≤π），消去參數φ可得普通方程，注意y的取值范圍．（2）由半圓C：（x﹣2）2+y2=4，（0≤y≤2）化為極坐標方程：ρ=4cosθ，θ∈ ，把 代入可得|OP|．曲線C2的參數方程為 （t為參數），消去參數t化為普通方程，進而得到極坐標方程，把θ= 代入可得：|OQ|．利用|PQ|=|OQ|﹣|OP|即可得出．