Question

在平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，AD=2，AA₁=3，∠BAD=90°，∠BAA₁=∠DAA₁=60°，則AC₁的長為

23

．

Answer 1

分析：觀察圖形及題設條件，可構造出與AC₁有關的三角形然后利用三角形求此線段的長度，由題設條件可以證出AA₁在底面上的射影是角BAD的角平分線，由幾何體的幾何特征知，CC₁在底面上的射影在BC，DC的所組成的角的角平分線上，且此垂足到C的距離與點A₁在底面的垂足O到A的距離相，故可依據題設條件求出點O到AB，AD的距離，即求得圖中HR，CR的長度，補出如圖的圖形，在直角三角形中即可求出AC₁的長

解答：解：由題意，如圖，作A₁O⊥底面于O，作OE垂直AB于E，OF垂直AD于F，連接A₁F，A₁E，
由于，∠BAA₁=∠DAA₁=60°，故有△A₁FA≌△A₁EA，即A₁F=A₁E
從而有△A₁FO≌△A₁EO，即有OF=OE，由作圖知，O在角DAB的角平分線上，
又底面是矩形，故角DAO=角BAO=45°，
又AB=1，AD=2，AA₁=3，∠BAA₁=∠DAA₁=60°，
∴A₁F=A₁E=

3 3

2

，AE=AF=

3

2

，于是有AO=

3 2

2

，
在直角三角形A₁OA中，解得A₁O=

3 2

2

在圖中作C₁H垂直底面于H，作HR垂直DC延長線與R，由幾何體的性質知，HR=CR=

3

2

，A₁O=C₁H=

3 2

2

連接AH，得如圖的直角三角形ASH，直角三角形AHC₁，由已知及上求解得AS=

5

2

，SH=

7

2

∴AC₁²=AH²+C₁H²=AS²+SH²+C₁H²=

25

4

+

49

4

+

18

4

=

92

4

=23
∴AC₁=

23

故答案為

23

點評：本題主要考查了體對角線的求解，同時考查了空間想象能力，計算推理的能力，本題解題的關鍵是有著較強的空間感知能力以及根據題設條件構造圖形的能力，本題是一個創造型題，作出恰當的輔助線對求解本題很重要，本題是立體幾何中綜合性較強的題，解題中用到了間接法的技巧，通過求點A₁到底面的距離求出點C₁到底面的距離