Question

已知在平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=AA₁=1，且∠BAD=∠BAA₁=∠DAA₁=60°，求AC₁的長．

Answer 1

分析：根據∠BAD=∠BAA₁=∠DAA₁=60°，過A₁作A₁O⊥平面AC，O為垂足，則O在∠BAD的角平分線，即AC上，從而在三角形A₁B₁C₁中，可求AC₁的長．

解答：解：過A₁作A₁O⊥平面AC，O為垂足．…．（1分）
∵∠BAA₁=∠DA A₁，AB=AD，ABCD為菱形
∴O在∠BAD的角平分線，即AC上…（3分）
∵cos∠BAA₁=cos∠BAC•cos∠OAA₁∴cos∠OAA₁=

1

2

×

2

3

=

3

3

…（5分）
連A₁C₁則AA₁C₁C為平行四邊形，∴cos∠AA₁C₁=-

3

3

…..（6分）
在三角形A₁B₁C₁中，A₁C₁²=A₁B₁²+C₁B₁²-2A₁B₁•C₁B₁cos∠A₁B₁C₁=3…（8分）
∴AC₁=

A A 2 1 +A1 C 2 1 -2AA1•C1A1cos∠AA1C1

=

1+3-2•1• 3 •(- 3 3 )

=

6

…（10分）

點評：本題以平行六面體為載體，考查余弦定理，關鍵是利用條件∠BAD=∠BAA₁=∠DAA₁=60°，進行合理轉化．