Question

（2012•奉賢區一模）出租車幾何學是由十九世紀的赫爾曼-閔可夫斯基所創立的．在出租車幾何學中，點還是形如（x，y）的有序實數對，直線還是滿足ax+by+c=0的所有（x，y）組成的圖形，角度大小的定義也和原來一樣．直角坐標系內任意兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）定義它們之間的一種“距離”：|AB|=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|，請解決以下問題：
（1）求點A（1，3）、B（6，9）的“距離”|AB|；
（2）求線段x+y=2（x≥0，y≥0）上一點M（x，y）的距離到原點O（0，0）的“距離”；
（3）定義：“圓”是所有到定點“距離”為定值的點組成的圖形，點A（1，3）、B（6，9），C（1，9），求經過這三個點確定的一個“圓”的方程，并畫出大致圖象；（說明所給圖形小正方形的單位是1）

Answer 1

分析：（1）根據出租車幾何學中“距離”的定義，易得|AB|=|6-1|+|9-3|=5+6=11；
（2）用出租車幾何學中“距離”的定義代入，再結合已知條件去絕對值化簡，可得M到原點O的“距離”等于2；
（3）設“圓”的“圓心”坐標為M（m，n），由|MA|=|MB|=|MC|結合絕對值的性質，得到M（

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，6），再根據出租車幾何學中“距離”的定義，求出“半徑”R的值，即可畫出這個“圓”的大致圖象．

解答：解：（1）根據出租車幾何學中“距離”的定義，得
|AB|=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|=|6-1|+|9-3|=5+6=11…（3分）
（2）點M（x，y）到原點的距離為：|MO|=|x-0|+|y-0|=|x|+|y|
∵線段x+y=2上的點M（x，y）滿足x≥0，y≥0
∴|x|=x，|y|=y=2-x，可得|MO|=|x|+|y|=x+y=2…（6分）
（3）設“圓心”坐標為M（m，n），則
由|MA|=|MC|，得|m-1|+|n-3|=|m-1|+|n-9|，所以點M在y=6上…（7分）
又因為|MB|=|MC|即|m-1|+|n-9|=|m-6|+|n-9|，所以點M在x=

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上…（8分）
∴M（

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，6）…（10分）
R=|AM|=|

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-1|+|6-3|=

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…（14分）
“圓M”的圖象如右圖所示     …（16分）

點評：本題給出一個新的定義，叫我們求該定義下的“距離”和“圓”的圖象，著重考查了對新定義的理解和進行簡單的演繹推理等知識，屬于基礎題．