Question

（2012•奉賢區一模）正數列{a_n}的前n項和S_n滿足：rS_n=a_na_n+1-1，a₁=a＞0，常數r∈N．
（1）求證：a_n+2-a_n是一個定值；
（2）若數列{a_n}是一個周期數列，求該數列的周期；
（3）若數列{a_n}是一個有理數等差數列，求S_n．

Answer 1

分析：（1）由rS_n=a_na_n+1-1，利用迭代法得：ra_n+1=a_n+1（a_n+2-a_n），由此能夠證明a_n+2-a_n為定值．
（2）當n=1時，ra=aa₂-1，故a2=

1+ar

a

=r+

1

a

，根據數列是隔項成等差，寫出數列的前幾項，再由r＞0和r=0兩種情況進行討論，能夠求出該數列的周期．
（3）因為數列{a_n}是一個有理等差數列，所以a+a+r=2(r+

1

a

)，化簡2a²-ar-2=0，a=

r+ 16+r2

4

是有理數，由此入手進行合理猜想，能夠求出S_n．

解答：證明：（1）∵rS_n=a_na_n+1-1，①
∴rS_n+1=a_n+1a_n+2-1，②
②-①，得：ra_n+1=a_n+1（a_n+2-a_n），
∵a_n＞0，∴a_n+2-a_n=r．…（4分）
（2）當n=1時，ra=aa₂-1，
∴a2=

1+ar

a

=r+

1

a

，
根據數列是隔項成等差，寫出數列的前幾項：a，r+

1

a

，a+r，2r+

1

a

，a+2r，3r+

1

a

，…
當r＞0時，奇數項和偶數項都是單調遞增的，所以不可能是周期數列，
所以r=0時，數列寫出數列的前幾項：a，

1

a

，a，

1

a

，a，

1

a

，a，

1

a

，…
所以當a＞0且a≠1時，該數列的周期是2，
當a=1時，該數列的周期是1．
（3）因為數列{a_n}是一個有理等差數列，
所以a+a+r=2(r+

1

a

)
化簡2a²-ar-2=0，a=

r+ 16+r2

4

是有理數．
設

r2+16

，是一個完全平方數，
設為r²+16=k²，r，k均是非負整數r=0時，a=1，a_n=1，S_n=n．
r≠0時（k-r）（k+r）=16=2×8=4×4可以分解成8組，
其中只有

r=3 k=5

，符合要求，
此時a=2，an=

3n+1

2

Sn=

n(3n+5)

4

，
或者r=2(a-

1

a

)，
等差數列的前幾項：a，2a-

1

a

，3a-

2

a

，4a-

3

a

，…，an=na-

n-1

a

，
因為數列{a_n}是一個有理等差數列r=2(a-

1

a

)是一個自然數，a=1，r=0，a_n=1，S_n=n，
此時a=2，r=2，an=

3n+1

2

，Sn=

n(3n+5)

4

．

點評：本題考查數列知識的綜合應用，是對數列知識的綜合考查，屬于數列中的難題．一般數列出大題，要么是非常容易，在第一第二大題；要么就是很難的題目．