Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BCA=90°，AC=BC=AA₁=2，E，F分別是CC₁，A₁B₁的中點．
（Ⅰ）求證AE⊥平面BCF；
（Ⅱ）求二面角A-CF-B的平面角的余弦值．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,二面角的平面角及求法

專題：空間角,空間向量及應用

分析：（Ⅰ）建立坐標系，利用向量法證明AE⊥平面BCF；
（Ⅱ）求平面的法向量，利用向量法即可求二面角A-CF-B的平面角的余弦值．

解答： 證明：（Ⅰ）建立以C₁為坐標原點的空間坐標系如圖，
∵AC=BC=AA₁=2，E，F分別是CC₁，A₁B₁的中點．
∴A（0，2，2），B（2，0，2），E（0，0，1），A₁（0，2，0），F（1，1，0），B₁（2，0，0），C（0，0，2）
則

AE

=（0，-2，-1），

BC

=（-2，0，0），

CF

=（1，1，-2），
則

AE

•

BC

=0，

AE

•

CF

=-2+2=0，
則

AE

⊥

BC

，

AE

⊥

CF

，
即AE⊥BC，AE⊥CF，
則AE⊥平面BCF；
（Ⅱ）∵AE⊥平面BCF，
∴

AE

=（0，-2，-1）是平面BCF的法向量，
設平面ACF的法向量為

n

=（x，y，z），
則

n • CA =2y=0 n • CF =x+y-2z=0

，
解得y=0，x-2z=0，
令z=1，則x=2，即

n

=（2，0，1），
則cos＜

AE

，

n

＞=

AE • n

| n || AE |

=

-1

22+12 • (-1)2+(-2)2

=

-1

5 × 5

=-

1

5

，
則二面角A-CF-B的平面角的余弦值為|cos＜

AE

，

n

＞|=

1

5

．

點評：本題主要考查空間直線和平面垂直的判斷已經空間二面角的求解，建立坐標系利用向量法是解決本題的關鍵．