Question

如圖PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA=PD=a，M，N分別是AB，PC的中點．

(1)求平面PCD與平面ABCD所成二面角的大小；

(2)求證：平面MND⊥平面PCD；

(3)當AB的長度變化時，求異面直線PC與AD所成角的范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴PD⊥CD 故∠PDA是平面PCD與平面ABCD所成二面角的平面角 在Rt△PAD中，PA⊥AD，PA=AD，∴∠PDA=45°； (2)取PD中點E，連AE，EN，又M，N分別是AB，PC的中點， ∴ ∴AMNE是平行四邊形 ∴MN∥AE 在等腰Rt△PAD中，AE是斜邊的中線 ∴AE⊥PD 又CD⊥AD，CD⊥PD，∴CD⊥平面PAD ∴CD⊥AE，又PD∩CD=D，∴AE⊥平面PCD ∴MN⊥平面PCD ∴平面MND⊥平面PCD； (3)∵AD∥BC 所以∠PCB為異面直線PC，AD所成的角 由三垂線定理知PB⊥BC，設AB=x(x>0) ∴ ，∴tan∠PCB∈(1，＋∞)， 又∠PCB為銳角，∴ 即異面直線PC，AD所成的角的范圍為．