Question

如圖，P△ABC所在平面外一點，PA=PB，CB⊥平面PAB，M是PC中點，N是AB上的點，AN=3NB，
（1）求證：MN⊥AB；
（2）當∠PAB=90°，BC=2，AB=4時，求MN的長．

Answer 1

分析：（1）取AB中點Q，連接PQ，CQ，根據線面垂直的判定定理可知PQ⊥平面ABC，從而∠PQC=90°，再根據M是PC中點，根據直角三角形的中線定理可知MB=

1

2

PC，則MB=MQ，而N是BQ的中點，根據直角三角形的中線定理可的結論；
（2）先在直角三角形PAB中求出PB，然后求出MB的長以及BN的長，最后在直角三角形MNB中求出MN即可．

解答：解：（1）證明：取AB中點Q，連接PQ，CQ，
因為CB⊥平面PAB，則PQ⊥BC，又PA=PB，所以PQ⊥AB，
于是PQ⊥平面ABC，所以∠PQC=90°，
因為M是PC中點，所以MQ=

1

2

PC，
又因為∠CBP=90°，所以MB=

1

2

PC，所以MB=MQ；
而N是BQ的中點，所以MN⊥AB；
（2）當∠PAB=90°，BC=2，AB=4時，
有PB=2

2

，PC=2

3

，MB=

1

2

PC=

3

，
所以MN=

MB2-BN2

=

2

．

點評：本題主要考查了線線的位置關系，以及線段的度量，同時考查了空間想象能力、計算與推理的能力，屬于基礎題．