Question

（本小題滿分12分）
四棱錐S—ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側面SBC⊥底面ABCD，已知
∠ABC = 45°AB=2，BC=，SA=SB =
（Ⅰ）證明SA⊥BC；
（Ⅱ）求直線SD與平面SAB所成角的大小.

Answer 1

（Ⅰ）SA⊥BC
（Ⅱ）直線SD與平面SAB所成的角為

解法一：
（I）作SO⊥BC，垂足為O，連結AO，由側面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD.
因為SA=SB，所以AO=BO.
   又∠ABC=45°，故△AOB為等腰直角三角形，AO⊥BO，

   由三垂線定理，得SA⊥BC.
（II）由（I）知SA⊥BC，依題設AD∥BC，
故SA⊥AD，由AD=BC=2，SA=，AO=，得
SO=1，.
△SAB的面積.
連結AB，得△DAB的面積=2.
設D到平面SAB的距離為h，由，得
，
解得.
設SD與平面SAB所成角為α，則sinα=.
所以，直線SD與平面SAB所成的角為
解法二：
（I）作SO⊥BC，垂足為O，連結AO，由側面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD.
因為SA=SB，所以AO=BO.
又∠ABC=，△AOB為等腰直角三角形，AO⊥OB.
如圖，以O為坐標原點，OA為x軸正向，建立直角坐標系O—xyz，
A（，0，0），B（0，，0），C（0，－，0），S（0，0，1），
=（，0，－1），=（0，2，0），·=0，
所以SA⊥BC.
（Ⅱ）取AB中點E，E
連結SE，取SE中點G，連結OG，G，

，OG與平面SAB內兩條相交直線SE，AB垂直，
所以OG⊥平面SAB. 與的夾角記為α,SD與平面SAB所成的角記為β，則α與β互余.

所以，直線SD與平面SAB所成的角為