Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，Q為右支上一點，F為右焦點，O為坐標原點，△OFQ的面積為2

6

，

OF

•

FQ

=m．
（1）設

6

≤m≤4

6

，求∠OFQ正切值的取值范圍；
（2）若|

OF

|=c，m=(

6

4

-1)c2，求當 |

OQ

|取得最小值時，求此雙曲線的方程．

Answer 1

分析：（1）利用△OFQ的面積為2

6

，

OF

•

FQ

=m，可得∠OFQ正切值，根據m的范圍，即可確定∠OFQ正切值的取值范圍；
（2）先確定Q的坐標，再計算 |

OQ

|的最小值，從而可求雙曲線的方程．

解答：解：（1）設∠OFQ=θ，則

| OF |•| FQ |cos(π-θ)=m 1 2 •| OF |•| FQ |sinθ=2 6

，∴tanθ=-

4 6

m

∵

6

≤m≤4

6

∴-4≤tanθ≤-1
（2）設所求的雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，Q(x1，y1)，∴

FQ

=(x1-c，y1)
∴S△OFQ=

1

2

|

OF

|•|y1|=2

6

，∴y1=±

4 6

c

又∵

OF

•

FQ

=m，∴

OF

•

FQ

=(c，0)•(x1-c，y1)=(x1-c)•c=(

6

4

-1)c2
∴x1=

6

4

c，
∴|

OQ

|=

x 2 1 + y 2 1

=

96 c2 + 3c2 8

≥

12

．
當且僅當c=4時，|

OQ

|最小，此時Q的坐標是(

6

，

6

)或(

6

，-

6

)
∴

6 a2 - 6 b2 =1 a2+b2=16

，∴

a2=4 b2=12

，
∴所求方程為

x2

4

-

y2

12

=1．

點評：當題中的條件和結論體現出一種明顯的函數關系時，可通過建立目標函數，求其目標函數的最值，求函數最值的常用方法有：一元二次函數法、基本不等式法、判別式法、定義法、函數單調性法等．