Question

已知函數(shù)f（x）=5x-5x²，記函數(shù)f₁（x）=f（x），f₂（x）=f[f₁（x）]，f₃（x）=f[f₂（x）]，…，f_n（x）=f[f_n-1（x）]，…，考察區(qū)間A=（-∞，0），對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈A，有f₁（x）=f（x）=a＜0，f₂（x）=f[f₁（x）]=f（a）＜0，且n≥2時(shí)，f_n（x）＜0，問：是否還有其它區(qū)間，對(duì)于該區(qū)間的任意實(shí)數(shù)x，只要n≥2，都有f_n（x）＜0？

Answer 1

分析：由函數(shù)f₁（x）=f（x），f₂（x）=f[f₁（x）]，f₃（x）=f[f₂（x）]，…，f_n（x）=f[f_n-1（x）]…知若使f_n（x）＜0等價(jià)于f[f_n-1（x）]＜0，由f（x）＜0，得x＜0或x＞1，則有f_n-1（x）＜0或f_n-1（x）＞1，依此類推，要使一切n∈N₊，n≥2，都有f_n（x）＜0，必須有f₁（x）＜0或f₁（x）＞1即f（x）＜0或f（x）＞1的解集即為所求．

解答：解：f（x）＜0，即5x²-5x＞0，故x＜0或x＞1．
∴f_n（x）＜0?f[f_n-1（x）]＜0?f_n-1（x）＜0或f_n-1（x）＞1．
要使一切n∈N₊，n≥2，都有f_n（x）＜0，必須使f₁（x）＜0或f₁（x）＞1，
∴f（x）＜0或f（x）＞1，即5x-5x²＜0或5x-5x²＞1．
解得x＜0或x＞1或

5- 5

10

＜x＜

5+ 5

10

，
∴還有區(qū)間（

5- 5

10

，

5+ 5

10

）和（1，+∞）
使得對(duì)于這些區(qū)間內(nèi)任意實(shí)數(shù)x，只要n≥2，都有f_n（x）＜0

點(diǎn)評(píng)：本題一道方案類型題，做題時(shí)要用即定的規(guī)律進(jìn)行遞推，轉(zhuǎn)化，還涉及到不等式的法和恒成立問題．