Question

15．.已知函數f（x）=cosx（sinx+cosx）-0.5．
（1）若0＜β＜90°，sinβ=0.6，求f（β）．
（2）求f（x）的單調增區間．

Answer 1

分析 （1）將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用sinβ=0.6，求f（β）的值．
（2）將內層函數看作整體，放到正弦函數的增區間上，解不等式得函數的單調遞增區間；

解答 解：函數f（x）=cosx（sinx+cosx）-0.5．
化簡得：f（x）=sinxcosx+cos²x-$\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos2x-\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$
（1）∵0＜β＜90°，sinβ=$\frac{3}{5}$；
∴cosβ=$\frac{4}{5}$．
則f（β）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2$β+\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$sin2β+$\frac{1}{2}$cos2β=sinβcosβ+$\frac{1}{2}（1-2si{n}^{2}β）$=$\frac{12}{25}$+$\frac{1}{2}-\frac{9}{25}$=$\frac{31}{50}$
（2）由sinx的圖象及性質可得：$2x+\frac{π}{4}∈$[2kπ$-\frac{π}{2}$，2kπ$+\frac{π}{2}$]（k∈Z）是單調增區間．即2kπ$-\frac{π}{2}$≤$2x+\frac{π}{4}$≤2kπ$+\frac{π}{2}$
解得：$kπ-\frac{3π}{8}≤x≤kπ+\frac{π}{8}$
所以函數f（x）的單調增區間為[$kπ-\frac{3π}{8}$，$kπ+\frac{π}{8}$]（k∈Z）．

點評 本題考查了三角函數的化簡能力和二倍角公式的運用，以及三角函數的圖象及性質．屬于基礎題．