Question

焦點分別為F₁，F₂的橢圓過點M（2，1），拋物線的準線過橢圓C的左焦點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）不過M的動直線l交橢圓C于A、B兩點，若•=0，求證：直線l恒過定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

（Ⅰ）解：由2p=，∴p=，∴拋物線的準線方程為．
故，，
∴橢圓方程可化為，又橢圓過點M（2，1），
∴，則a⁴-8a²+12=0，
∵a²＞3，解得：a²=6．
∴所求橢圓的方程為．
（Ⅱ）證明：①若直線l⊥x軸，直線l可設為x=m（m≠2），則直線l與橢圓交于
，，
由，得，
即3m²-8m+4=0．
解得：m=2（舍）或，
故直線l的方程為．
②若直線l與x軸不垂直，可設直線l的方程為y=kx+n．
直線l與橢圓交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由?（1+2k²）x²+4knx+2n²-6=0．
由△＞0，得：（4kn）²-4（1+2k²）（2n²-6）＞0，即6k²-n²+3＞0．
由根與系數關系得：，．
由得：（x₁-2）（x₂-2）+（y₁-1）（y₂-1）=0，
即x₁x₂-2（x₁+x₂）+y₁y₂-（y₁+y₂）+5=0，
又y₁=kx₁+n，y₂=kx₂+n，
故，
即．
∴4k²+8kn+（3n+1）（n-1）=0，即（2k+3n+1）（2k+n-1）=0．
∴或n=-2k+1．
而或n=-2k+1滿足△＞0．
∴直線l為或y=kx-2k+1=k（x-2）+1．
由于直線l不過M，∴直線y=kx-2k+1=k（x-2）+1不合題意．
∴直線l為．
綜合①②，直線l為為或．
故直線l恒過定點．
分析：（Ⅰ）由拋物線方程寫出其準線方程，從而求出橢圓焦點坐標，把點M的坐標代入橢圓方程后，結合a²=b²+c²可求橢圓方程；
（Ⅱ）分直線l垂直于坐標軸和不垂直坐標軸兩種情況進行討論，直線垂直坐標軸時，把直線方程代入橢圓方程求出A，B的坐標，由•=0解出m的值，直線不垂直坐標軸時，設出直線方程的斜截式，和橢圓方程聯立后由判別式大于0得到直線斜率和在y軸上的截距滿足的關系式，再由•=0把直線的截距用斜率表示，代回直線方程后由線系方程可得直線恒過定點．
點評：本題考查了橢圓標準方程的求法，考查了直線和圓錐曲線的位置關系，考查了分類討論的數學思想，證明直線l恒過定點時，綜合考查了向量知識、直線系方程及學生的運算能力，此題屬難題．