Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右焦點分別為F₁，F₂，離心率為e，若橢圓上存在點P，使得

PF1

PF2

=e，則該離心率e的取值范圍是

[

2

-1，1）

．

Answer 1

分析：由

PF1

PF2

=e結合橢圓離心率的定義可得

PF1

PF2

+1=

PF2+PF1

PF2

=

2a

PF2

=e+1，可求得PF₂=

2a

e+1

，而a-c≤PF₂≤a+c，從而可求得離心率e的取值范圍．

解答：解：依題意，得

PF1

PF2

+1=

PF2+PF1

PF2

=

2a

PF2

=e+1，
∴PF₂=

2a

e+1

，又a-c≤PF₂≤a+c，
∴a-c≤

2a

e+1

≤a+c，不等號兩端同除以a得，
1-e≤

2

e+1

≤1+e，
∴

1-e2≤2 1+e≥ 2

，解得e≥

2

-1，
又0＜e＜1，
∴

2

-1≤e＜1．
故答案為：[

2

-1，1）

點評：本題考查橢圓的離心率及橢圓的簡單幾何性質，求得PF₂=

2a

e+1

，利用a-c≤PF₂≤a+c解決問題是關鍵，也是難點，屬于中檔題．