Question

已知數列{a_n}為各項均為正的等比數列，其公比為q．
（1）當q=

3

2

時，在數列{a_n}中：
①最多有幾項在1～100之間？
②最多有幾項是1～100之間的整數？
（2）當q＞1時，在數列{a_n}中，最多有幾項是100～1000之間的整數？（參考數據：lg3=0.477，lg2=0.301）．

Answer 1

分析：（1）①不妨設a₁≥1，設數列a_n有n項在1和100之間，由題意得：(

3

2

)n-1≤100．兩邊同取對數可得n≤12.37．從而得出n的最大值為12即得；
②不妨設1≤a₁＜a1•

3

2

＜a1•(

3

2

)2＜…＜a1•(

3

2

)n-1≤100，其中a₁，a1•

3

2

，a1•(

3

2

)2，，a1•(

3

2

)n-1均為整數，利用指數不等式3^n-1≤100，得出n≤5從而得出當q=

3

2

時，最多有5項是1和100之間的整數；
（2）設等比數列aq^n-1滿足100≤a＜aq＜＜aq^n-1≤1000，再設q=

t

s

，t＞s≥1，t與s互質，根據題意得到a是s^n-1的倍數，令t=s+1，于是數列滿足不等關系：100≤a＜a•

s+1

s

＜＜a•(

s+1

s

)n-1≤100．下面就s進行分類討論：如果s≥3，如果s=1，如果s=2，即可得出最多有幾項是100～1000之間的整數．

解答：解：（1）①不妨設a₁≥1，設數列a_n有n項在1和100之間，則a1•(

3

2

)n-1≤100．所以，(

3

2

)n-1≤100．
兩邊同取對數，得（n-1）（lg3-lg2）≤2．解之，得n≤12.37．
故n的最大值為12，即數列a_n中，最多有12項在1和100之間．（5分）
②不妨設1≤a₁＜a1•

3

2

＜a1•(

3

2

)2＜＜a1•(

3

2

)n-1≤100，其中a₁，a1•

3

2

，a1•(

3

2

)2，，a1•(

3

2

)n-1均為整數，所以a₁為2^n-1的倍數．所以3^n-1≤100，所以n≤5．（8分）
又因為16，24，36，54，81是滿足題設要求的5項．
所以，當q=

3

2

時，最多有5項是1和100之間的整數．（10分）
（2）設等比數列aq^n-1滿足100≤a＜aq＜＜aq^n-1≤1000，
其中a，aq，，aq^n-1均為整數，n∈N^*，q＞1，顯然，q必為有理數．（11分）
設q=

t

s

，t＞s≥1，t與s互質，
因為aq^n-1=a(

t

s

)n-1為整數，所以a是s^n-1的倍數．（12分）
令t=s+1，于是數列滿足100≤a＜a•

s+1

s

＜＜a•(

s+1

s

)n-1≤100．
如果s≥3，則1000≥a•(

s+1

s

)n-1≥（q+1）n-1≥4n-1，所以n≤5．
如果s=1，則1000≥a•2^n-1≥100•2^n-1，所以，n≤4．
如果s=2，則1000≥a•(

3

2

)n-1≥100•(

3

2

)n-1，所以n≤6．（13分）
另一方面，數列128，192，288，432，648，972滿足題設條件的6個數，
所以，當q＞1時，最多有6項是100到1000之間的整數．（16分）

點評：本小題主要考查等比數列的性質、數列與不等式的綜合等基礎知識，考查運算求解能力，化歸與轉化思想．屬于基礎題．