Question

【題目】已知橢圓過點，離心率為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過橢圓的上頂點作直線交拋物線于兩點， 為原點.

①求證： ；

②設、分別與橢圓相交于、兩點，過原點作直線的垂線，垂足為，證明: 為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）根據橢圓過定點以及橢圓的離心率可得，解得的值，由橢圓的定義可得的值，將的值代入橢圓方程即可得答案；（2）①設過橢圓的上頂點的直線的方程為，與拋物線方程聯立，設出點的坐標，由根與系數的關系分析計算的值，由向量數量積的性質可得證明；②直線 與拋物線聯立，由韋達定理及平面向量數量積公式可得， 的等量關系，結合點到直線距離公式可得結果.

試題解析：(1) ，所以，又，解得，，

所以橢圓的方程為

（2）①證明：設、，依題意，直線一定有斜率， 的方程為，

聯立方程消去得 ，，又，，

②證明：設、，直線的方程為，，，，聯立方程消去得 ，

，，

而

由 得

，即. 所以為定值.