Question

【題目】已知定義在R上的函數f（x），對任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b）﹣1，當x＞0時，f（x）＞1；且f（2）=3，
（1）求f（0）及f（1）的值；
（2）判斷函數f（x）在R上的單調性，并給予證明；
（3）若f（﹣kx2）+f（kx﹣2）＜2對任意的x∈R恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：令a=b=0，由題意可知：f（0）=f（0）+f（0）﹣1，即f（0）=1，

同理，令a=b=1，則有f（2）=f（1）+f（1）﹣1，又f（2）=3，所以f（1）=2

（2）解：在R上任取x1、x2，設x1＞x2，

則f（x1）=f（x1﹣x2）+f（x2）﹣1，所以f（x1）﹣f（x2）=f（x1﹣x2）﹣1，

又當x＞0時，f（x）＞1且x1﹣x2＞0，所以f（x1﹣x2）＞1，

所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）

故函數f（x）在R上為單調遞增

（3）解：因為f（﹣kx2）+f（kx﹣2）＜2對任意的x∈R恒成立，

由題意可轉化為kx2﹣kx+2＞0對任意的x∈R恒成立，

①當k=0時，得2＞0，符合題意；

②當k≠0時，則 ，解得0＜k＜8

故符合題意的實數k的取值范圍為0≤k＜8

【解析】（1）令a=b=0，由題意即可求解f（0），令a=b=1，即可求解f（1）．（2）利用單調性的定義在R上任取x1、x2 ， 設x1＞x2 ， 推出f（x1）＞f（x2），得到函數f（x）在R上為單調遞增；（3）通過f（﹣kx2）+f（kx﹣2）＜2對任意的x∈R恒成立，轉化為kx2﹣kx+2＞0對任意的x∈R恒成立，①當k=0時，②當k≠0時，分別求解即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數單調性的判斷方法的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較．