Question

【題目】已知圓:和定點,是圓上任意一點,線段的垂直平分線交于點,設動點的軌跡為.

(1)求的方程;

(2)過點作直線與曲線相交于,兩點(,不在軸上),試問:在軸上是否存在定點,總有?若存在,求出點的坐標;若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在,定點

【解析】

（1）由題可得圓心為,由可推出的軌跡是以、為焦點的橢圓,進而求出橢圓方程即可；

（2）設存在點滿足題意,當不存在時顯然成立,當存在時,設直線為,聯立直線方程和橢圓方程,可得,利用韋達定理得到的關系,由可知,利用斜率公式整理求解即可

（1）由題,圓心為,半徑,

由垂直平分線的性質可知,所以,

所以由橢圓定義可知軌跡是以、為焦點的橢圓,

所以,即,

因為,所以,

所以軌跡方程為:

（2）存在,

設存在點滿足題意,

當不存在時,由橢圓的對稱性,軸上的點均符合題意；

當存在時,設直線為,

聯立,消去得,

設,,

則,,

因為,則,

所以,即,

所以,

則,

所以,即,

所以當時,無論為何值,都滿足題意,

所以存在定點,總有