【題目】已知函數
，其中
.
（1）當
時，求
函數圖像在點
處的切線；
（2）求函數
的單調遞減區間；
（3）若函數的在區間
的最大值為
，求
的值.
【答案】（1）
（2）①當
時，無減區間；
②當
時，
減區間為
.
③當
時，減區間為
.
④當
時，減區間為
；
（3）
【解析】
（1）對函數進行求導，然后根據導數的幾何意義求出切線的斜率，最后求出切線方程即可；
（2）對函數進行求導，讓導函數為零，根據導函數為零的根的正負性、兩根之間的大小關系進行分類討論求出函數的單調區間；
（3）根據（2）中的結論，結合已知求出
的值.
解：（1）
時，
，
，
，
，
切線：.
（2）
，
①當
即時，
恒成立，
∴在
遞增，無減區間；
②當
即時，
|
| 1 |
|
|
|
| + | 0 | - | 0 | + |
|
| 極大值 |
| 極小值 |
|
∴減區間為.
③當
，即時，
|
|
|
| 1 |
|
| + | 0 | - | 0 | + |
|
| 極大值 |
| 極小值 |
|
∴減區間為.
④當
即時，
|
| 1 |
|
| - | 0 | + |
|
| 極小值 |
|
∴減區間為.
綜上所述：
①當時，無減區間；
②當時，減區間為.
③當時，減區間為.
④當時，減區間為；
（3）由（2）問結論知，
時，
在
上單調遞增，∴
合題意，
由（2）知，當時，
在
處或
處取到，
又
時，
且最大也不成立.
∴.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓
:
和定點
,
是圓上任意一點,線段
的垂直平分線交
于點
,設動點的軌跡為
.
(1)求的方程;
(2)過點
作直線
與曲線相交于
,
兩點(,不在
軸上),試問:在軸上是否存在定點
,總有
?若存在,求出點的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為
,直線l的參數方程為
(t為參數,
).
(1)寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程;
(2)若直線l與曲線C交于A,B兩點,直線l的傾斜角
,P點坐標為
,求
的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】生男生女都一樣，女兒也是傳后人.由于某些地區仍然存在封建傳統思想，頭胎的男女情況可能會影響生二孩的意愿，現隨機抽取某地200戶家庭進行調查統計.這200戶家庭中，頭胎為女孩的頻率為0.5，生二孩的頻率為0.525，其中頭胎生女孩且生二孩的家庭數為60.
（1）完成下列
列聯表，并判斷能否有95%的把握認為是否生二孩與頭胎的男女情況有關；
生二孩 | 不生二孩 | 合計 | |
頭胎為女孩 | 60 | ||
頭胎為男孩 | |||
合計 | 200 |
（2）在抽取的200戶家庭的樣本中，按照分層抽樣的方法在頭胎生女孩家庭中抽取了5戶，進一步了解情況，在抽取的5戶中再隨機抽取3戶，求這3戶中恰好有2戶生二孩的概率.
附：
| 0.15 | 0.05 | 0.01 | 0.001 |
| 2.072 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
（其中
）.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
的焦點為
，過點
的直線交拋物線
于
和
兩點.
（1）當
時，求直線
的方程；
（2）若過點
且垂直于直線的直線
與拋物線交于
兩點，記
與
的面積分別為
，求
的最小值.
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