Question

已知邊長為1的等邊△ABC，在線段AC上任取一點P（不與端點重合），將△ABP折起，使得平面BPC⊥平面ABP，則當三棱錐A-PBC的體積最大時，點A到面PBC的距離是    ．

Answer 1

【答案】分析：設AP=x，則PC=1-x，我們求出底面三角形BPC的面積，及高的長度，可以得到三棱錐A-PBC的體積V的表達式（含參數x），利用換元法，結合二次函數的性質，我們可求出當三棱錐A-PBC的體積最大時，點A到面PBC的距離．
解答：解：設AP=x，則PC=1-x，
則S_△BPC==•（1-x）
點A到平面BPC的距離就是△ABP的中BP邊上的高
∴H==
故三棱錐A-PBC的體積V=
令t=x²-x（t∈，0）
則V===
故t=，即x=時，V取最大值
故答案為：
點評：本題考查的知識點是棱錐的體積，函數的最值，其中設AP=x，則PC=1-x，并得到三棱錐A-PBC的體積V的表達式，是解答本題的關鍵．