Question

如圖，點P在以AB為直徑的半圓上移動，且AB=1，過點P作圓的切線PC，使PC=1．連接BC，當點P在什么位置時，四邊形ABCP的面積等于

1

2

？

Answer 1

分析：設∠PAB=α，連接PB．根據題意設出PA和PB，利用PC是切線推斷出∠BPC=α．利用三角形面積公式分別表示出S_△APB和S_△BPC，利用兩角和公式和二倍角公式整理后，利用正弦函數的性質求得α．

解答：解：設∠PAB=α，連接PB．
∵AB是直徑，∴∠APB=90°．
又AB=1，∴PA=cosα，PB=sinα．
∵PC是切線，∴∠BPC=α．又PC=1，
∴S_{四邊形ABCP}=S_△APB+S_△BPC
=

1

2

PA•PB+

1

2

PB•PC•sinα=

1

2

cosαsinα+

1

2

sin2α=

1

4

sin2α+

1

4

（1-cos2α）
=

1

4

(sin2α-cos2x)+

1

4

=

2

4

sin(2α-

π

4

)+

1

4

由已知，

2

4

sin(2α-

π

4

)+

1

4

=

1

2

∴sin(2α-

π

4

)=

2

2

又α?(0，

π

2

)，
∴2α-

π

4

∈(-

π

4

，

3π

4

)．
∴2α-

π

4

=

π

4

，∴α=

π

4

故當點P位于AB的中垂線與半圓的交點時，
四邊形ABCP的面積等于

1

2

點評：本題主要考查了在實際問題中建立三角函數模型．注重了基礎知識和基本運算能力的考查．