Question

如圖，點C在以AB為直徑的⊙O上，CD⊥AB于點P，設AP=a，PB=B．
（1）求弦CD的長；
（2）如果a+b=10，求ab的最大值，并求出此時a，b的值．

Answer 1

分析：（1）依題意，利用射影定理，PC²=AP•PB即可求得弦CD的長；
（2）利用基本不等式ab≤(

a+b

2

)2當且僅當“a=b”時“=”成立，即可求得答案．

解答：解：（1）∵AB為⊙O的直徑，CD⊥AB于點P，
∴在直角三角形ACB中，由射影定理知，PC²=AP•PB，
∵AP=a，PB=b，
∴CD=2PC=2

PC2

=2

ab

，
（2）∵a+b=10，
∴ab≤(

a+b

2

)2=25，當且僅當“a=b=5”時“=”成立．

點評：本題考查與圓有關的線段，突出考查射影定理與基本不等式的應用，屬于中檔題．