Question

已知函數,（ x>0）．

（I）當0<a<b，且f(a)=f(b)時，求證：ab>1；

（II）是否存在實數a，b（a<b），使得函數y=f(x)的定義域、值域都是[a，b]，若存在，則求出a，b的值，若不存在，請說明理由．

（III）若存在實數a，b（a<b），使得函數y=f(x)的定義域為 [a，b]時，值域為 [ma，mb](m≠0),求m的取值范圍．

Answer 1

解：（I） ∵x>0，∴

∴f(x)在（0，1）上為減函數，在上是增函數．

由0<a<b，且f(a)=f(b)，

可得 0<a1<b和．

即．

∴2ab=a+b>．

故，即ab>1．

 （II）不存在滿足條件的實數a，b．

     若存在滿足條件的實數a，b，使得函數y=的定義域、值域都是

[a，b]，則a>0．

    

①   當時，在（0，1）上為減函數．

故     即 

解得  a=b．

故此時不存在適合條件的實數a，b．

②     當時，在上是增函數．

故     即 

此時a，b是方程的根，此方程無實根．

故此時不存在適合條件的實數a，b．

③     當，時，

由于，而，

故此時不存在適合條件的實數a，b．

      綜上可知，不存在適合條件的實數a，b．

（III）若存在實數a，b（a<b），使得函數y=f(x)的定義域為[a，b]時，值域為[ma，mb]．

      則a>0，m>0．

①       當時，由于f(x)在（0，1）上是減函數，故．此時刻得,b異號，不符合題意，所以，b不存在．

②       當或時，由（II）知0在值域內，值域不可能是[m，mb]，所以，b不存在．

        故只有．

∵在上是增函數，

     ∴        即 

a，  b是方程的兩個根．

即關于x的方程有兩個大于1的實根．

設這兩個根為，．

則+=，?=．

∴       即 

解得   ．

     故m的取值范圍是．