Question

已知函數f（x）=-x²+2ex+m-1，g（x）=x+

e2

x

 （x＞0）．
（1）若g（x）=m有實根，求m的取值范圍；
（2）確定m的取值范圍，使得g（x）-f（x）=0有兩個相異實根．

Answer 1

分析：（1）方法一：g（x）=x+

e2

x

≥2e，等號成立的條件是x=e．故g（x）的值域是[2e，+∞），由此能求出m的取值范圍．
方法二：作出g（x）=x+

e2

x

 （x＞0）的圖象如圖：觀察圖象，能求出m的取值范圍．
方法三：解方程由g（x）=m，得x²-mx+e²=0．此方程有大于零的根，故

m 2 ＞0 △=m2-4e2≥0

，由此能求出m的取值范圍．
（2）若g（x）-f（x）=0有兩個相異的實根，即g（x）=f（x）中，函數g（x）與f（x）的圖象有兩個不同的交點，作出g（x）=x+

e2

x

（x＞0）的圖象，由f（x）=-x²+2ex+m-1，知最大值為m-1+e²，故當m＞-e²+2e+1時，g（x）與f（x）的圖象有兩個不同的交點．

解答：解：（1）方法一：∵g（x）=x+

e2

x

≥2e，等號成立的條件是x=e．
故g（x）的值域是[2e，+∞），
因而只需m≥2e，則g（x）=m就有實根．
故m的取值范圍是{m|m≥2e}．
方法二：作出g（x）=x+

e2

x

 （x＞0）的圖象如圖：
觀察圖象，知：若使g（x）=m有實根，則只需m≥2e，故m的取值范圍是{m|m≥2e}．
方法三：解方程由g（x）=m，得x²-mx+e²=0，此方程有大于零的根，
故

m 2 ＞0 △=m2-4e2≥0

，等價于

m＞0 m≥2e或m≤-2e

，故m≥2e．
故m的取值范圍是{m|m≥2e}．
（2）若g（x）-f（x）=0有兩個相異的實根，即g（x）=f（x）中，函數g（x）與f（x）的圖象有兩個不同的交點，作出g（x）=x+

e2

x

（x＞0）的圖象，
∵f（x）=-x²+2ex+m-1=-（x-e）²+m-1+e²，
其對稱軸為x=e，開口向下，最大值為m-1+e²，
故當m-1+e²＞2e，即m＞-e²+2e+1時，g（x）與f（x）的圖象有兩個不同的交點，即g（x）-f（x）=0有兩個相異的實根，∴m的取值范圍是：（-e²+2e+1，+∞）．

點評：本題考查實數取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意合理地進行等價轉化．靈活運用導數的性質、函數圖象進行求解．