Question

已知函數f（x）=x²+2lnx+（a-6）x在（1，+∞）上為單調遞增函數．
（Ⅰ）求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）若g（x）=e^2x-2ae^x+a，x∈[0，ln3]，求g（x）的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導函數，利用函數f（x）=x²+2lnx+（a-6）x在（1，+∞）上為單調遞增函數，構建不等式，即可求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）利用換元法，轉化為二次函數求最值，利用配方法可得結論．

解答：解：（Ⅰ）求導函數可得f′（x）=2x+

2

x

+（a-6）
∵函數f（x）=x²+2lnx+（a-6）x在（1，+∞）上為單調遞增函數，
∴f′（x）=2x+

2

x

+（a-6）≥0，即a-6≥-（2x+

2

x

）在（1，+∞）上恒成立
∴a-6≥-4，
∴a≥2；
（Ⅱ）令t=e^x，則∵x∈[0，ln3]，∴t∈[1，3]
∴y=t²-2at+a=（t-a）²-a²+a
∴a＜1時，y_min=g（1）=1-a；1≤a≤3時，y_min=g（a）=-a²+a；a＞3時，y_min=g（3）=9-5a．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查函數的最值，考查學生的計算能力，屬于中檔題．