Question

（2010•武漢模擬）若橢圓C的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，過左焦點F（-c，0）的直線交橢圓C于P、Q兩點，若

FP

=(1，

3

)，且

1

|PF|

+

1

|QF|

=

4

3

．
（1）若

PF

=λ

FQ

，求實數λ值；
（2）求橢圓C的方程．

Answer 1

分析：（1）先由向量的坐標求出向量

FP

的模，又結合題中條件：

1

| PF |

+

1

| QF |

=

4

3

得到關于λ的等式即可實數λ值；
（2）設直線的方程為y=

3

(x+c)，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用

1

|PF|

+

1

|QF|

=

4

3

即可求得b值，從而解決問題．

解答：解：（1）∵

PF

=λ

FQ

，λ＞0，又

FP

=(1，

3

)有|

FP

|=2
又

1

| PF |

+

1

| QF |

=

4

3

則有

1

2

+

λ

2

=

4

3

，求得λ=

5

3

…（6分）
（2）設過左焦點的直線與橢圓交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
由橢圓的第二定義可知：|PF|=a+cx1=a+

c

a

(1-c)=2則2a=c+b²
又y=

3

(x+c)代入

x2

a2

+

y2

b2

=1中得(b2+3a2)x2+6a2cx+a2(3c2-b2)=0
得x1+x2=

-6a2c

b2+3a2

，x1x2=

a2(3c2-b2)

b2+3a2

又

1

|PF|

+

1

|QF|

=

1

a+ex1

+

1

a+ex2

=

2a+e(x1+x2)

a2+ae(x1+x2)+e2x1x2

=

2a+ c a ( -6a2c b2+3a2 )

a2+c( -ba2c b2+3a2 )+c2( 3c2-b2 b2+3a2 )

=

8a(a2-c2)

4(a2-c2)2

=

4

3

，即b2=

3

2

a
又b2=2a-c，從而求得a=2，c=1，b=

3

因此所求橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．…（13分）

點評：本小題主要考查橢圓的標準方程、橢圓的簡單性質等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、方程思想．屬于基礎題．