Question

已知橢圓C：的一條準線方程為l：x=-，且左焦點F到的l距離為．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點F的直線交橢圓C于兩點A、B、交l于點M，若，，證明λ₁+λ₂為定值．

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意有，解方程組得
∴橢圓C的方程為+y²=1．
（Ⅱ）依題意可知直線AB的斜率存在，
當斜率為0時，直線y=0和橢圓交于A（-，0），B（，0），和直線l交于M（-，0）點，
則易知λ₁+λ₂=0．
當斜率不為0時，可設直線AB方程為x=my-2（m≠0），
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（-，-），由得（m²+5）y²-4my-1=0，
由根與系數的關系得y₁+y₂=，y₁y₂=-，
又∵∴y₁+=-λ₁y₁，λ₁=--1，同理λ₂=--1
∴λ₁+λ₂=-2-•=-2-（-4m）=0
∴λ₁+λ₂為定值
綜上所述λ₁+λ₂為定值
分析：（Ⅰ）利用準線方程求得a和c的關系式，左焦點F到的l距離求得a和c的另一關系式，進而與a²=b²+c²聯立方程求得a，b，則橢圓的方程可得．
（Ⅱ）先看當斜率為0時，可求得A，B和M的坐標，則λ₁+λ₂可求得；再看當斜率不為0時，可設直線AB方程與橢圓的方程聯立，求得y₁+y₂和y₁y₂的表達式，分別求得λ₁和λ₂的表達式，則λ₁+λ₂的值可求．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的關系．直線與圓錐曲線聯系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現，平時應作為重點來復習．