Question

已知橢圓C₁：的一條準線方程是，其左、右頂點分別是A、B；雙曲線C₂：的一條漸近線方程為3x-5y=0。
（1）求橢圓C₁的方程及雙曲線C₂的離心率；
（2）在第一象限內取雙曲線C₂上一點P，連結AP 交橢圓C₁于點M，連結PB并延長交橢圓C₁于點N， 若，求的值。

Answer 1

解：（1）由已知，解得：，
∴橢圓的方程為，雙曲線的方程為，
又，
∴雙曲線的離心率。
（2）由（Ⅰ）A（-5，0），B（5，0），
設M，則由，
得M為AP的中點，∴P點坐標為，
將M、P坐標代入C₁、C₂方程，得，
消去y₀，得，解之得或（舍），
由此可得P（10，），
直線PB：，即，
代入得，
∴x=或5（舍）， ∴，
故MN⊥x軸， 所以。