Question

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足（2a-c）cosB=bcosC
（1）求角B的大小；
（2）設向量

m

=(sinA，cos2A)，

n

=(6，1)，求

m

•

n

的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理，結合A、B的范圍求出求角B的大小；
（2）設向量

m

=(sinA，cos2A)，

n

=(6，1)，直接化簡

m

•

n

，通過配方求出表達式，在sinA=1(A=

π

2

)取得的最大值，即可．

解答：解：（1）∵（2a-c）cosB=bcosC，
∴（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC，
∴2sinAcosB=sinA．（3分）
又在△ABC中，A，B∈（0，π），
所以sinA＞0，cosB=

1

2

，則B=

π

3

（6分）
（2）∵

m

•

n

=6sinA+cos2A=-2sin²A+6sinA+1，
∴

m

•

n

=-2(sinA-

3

2

)2+

11

2

．（8分）
又B=

π

3

，所以A∈(0，

2π

3

)，所以sinA∈（0，1]．（10分）
所以當sinA=1(A=

π

2

)時，

m

•

n

的最大值為5．（12分）

點評：本題是基礎題，考查正弦定理的應用，向量的數量積，三角函數值的求法，考查計算能力，常考題型．