Question

（本小題滿分12分）已知拋物線的頂點為坐標原點，焦點為．

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）若點為拋物線的準線上的任意一點，過點作拋物線的切線與，切點分別為，求證：直線恒過某一定點；

（Ⅲ）分析（Ⅱ）的條件和結論，反思其解題過程，再對命題（Ⅱ）進行變式和推廣．請寫出一個你發現的真命題，不要求證明（說明：本小題將根據所給出的命題的正確性和一般性酌情給分）．

Answer 1

（Ⅰ）; （Ⅱ）直線恒過定點; （Ⅲ）詳見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）依題意可設拋物線的方程為：（）．由焦點為可知，所以．即可求出拋物線的方程.（Ⅱ）方法一：設切點、坐標分別為，由（Ⅰ）知，．

則切線的斜率分別為，故切線的方程分別為，， 聯立以上兩個方程，得的坐標為，

因為點在拋物線的準線上，所以，即．設直線的方程為，代入拋物線方程，可得直線恒過定點． 方法二：設切點、坐標分別為，設，

易知直線斜率必存在，可設過點的切線方程為．

由，消去并整理得 因為切線與拋物線有且只有一個交點，所以， 可得， 假設存在一定點，使得直線恒過該定點，則由拋物線對稱性可知該定點必在軸上，設該定點為， 則．又，可得，所以直線過定點． （Ⅲ）根據直線與拋物線的位置關系的性質即可得到結論.

試題解析：【解析】
（Ⅰ）依題意可設拋物線的方程為：（）． 1分

由焦點為可知，所以． 2分

所以所求的拋物線方程為． 3分

（Ⅱ）方法一：

設切點、坐標分別為，由（Ⅰ）知，．

則切線的斜率分別為，

故切線的方程分別為，， 4分

聯立以上兩個方程，得.故的坐標為， 5分

因為點在拋物線的準線上，所以，即． 6分

設直線的方程為，代入拋物線方程，得，

所以，即，所以． 7分

故的方程為，故直線恒過定點． 8分

方法二：設切點、坐標分別為，設，

易知直線斜率必存在，可設過點的切線方程為．

由，消去并整理得． ①

因為切線與拋物線有且只有一個交點，

所以，整理得， ②

所以直線斜率為方程②的兩個根，故， 4分

另一方面，由可得方程①的解為，

所以． 5分

假設存在一定點，使得直線恒過該定點，則由拋物線對稱性可知該定點必在軸

上，設該定點為， 6分

則．

所以，

所以，整理得

所以，

所以 7分

所以直線過定點． 8分

（Ⅲ）結論一：若點為直線（）上的任意一點，過點作拋物線（）的切線，切點分別為，則直線恒過定點． 12分

結論二：過點（）任作一條直線交拋物線于兩點，分別以點為切點作該拋物線的切線，兩切線交于點，則點必在定直線上． 12分

結論三：已知點為直線上的一點，若過點可以作兩條直線與拋物線（）相切，切點分別為，則直線恒過定點． 12分.

考點：1.拋物線方程；2.直線與拋物線的位置關系.