Question

已知函數f（x）=lnx+ax+

a+1

x

．
（1）當a＞-

1

2

時，討論f（x）的單調性；
（2）當a=1時，若關于x的不等式f（x）≥m²-5m-3恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：（1）先求出函數定義域，再根據導數判斷函數的單調性，需要分類討論，
（2）求導數，得到單調區間，求出函數的極小值，也為最小值，由條件可知，只要最小值不小于m²-5m-3，解不等式即可得到．

解答： 解：∵f（x）=lnx+ax+

a+1

x

．
∴函數的定義域為（0，+∞），
∴f′（x）=

1

x

+a-

a+1

x2

=

ax2+x-(a+1)

x2

=

(x+ a+1 a )(x-1)

x2

令f′（x）=0，解得x=-1-

1

a

，或x=1，
∵令-1-

1

a

=1，解得a=-

1

2

，
①當-

1

2

＜a＜0時，-1-

1

a

＞1，
當f′（x）＞0時，即0＜x＜1，或x＞-1-

1

a

，函數f（x）單調遞增，
當f′（x）＜0時，即1＜x＜-1-

1

a

，函數f（x）單調遞減，
②當a＞0時，-1-

1

a

＜0，
當f′（x）＜0時，即0＜x＜1，函數f（x）單調遞減，
當f′（x）＞0時，即x＞1，函數f（x）單調遞增，
綜上所述，當-

1

2

＜a＜0時，函數f（x）在（0，1）和（-1-

1

a

）單調遞增，在（1，-1-

1

a

）單調遞減，
當a＞0時，函數f（x）在（0，1）單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增
（2）∵f（x）=lnx+x+

2

x

，
由（1）可知，函數f（x）在函數f（x）在（0，1）單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，
故當x=1時函數有極小值，
故函數的f（x）_min=f（1）=ln1+1+2=3，
關于x的不等式f（x）≥m²-5m-3恒成立，則有m²-5m-3≤3，
解得-1≤m≤6．
則實數m的取值范圍是[-1，6]．

點評：本題考查了導數和函數的單調性的關系、分類討論的思想方法等是解題的關鍵，屬于中檔題