Question

已知橢圓：（）的離心率，左、右焦點分別為、，點滿足：在線段的中垂線上．

（1）求橢圓的方程；

（2）若斜率為（）的直線與軸、橢圓順次相交于點、、，且，求的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）解法一：橢圓的離心率，得，其中    橢圓的左、右焦點分別為、 ， 

又點在線段的中垂線上，，

解得， 橢圓的方程為 ．……6分

解法二：橢圓的離心率，得，其中

橢圓的左、右焦點分別為、 ，                    

設線段的中點為，，，

又線段的中垂線過點，， 即， 橢圓方程為 

（Ⅱ）由題意，直線的方程為，且，  

聯立，得，

由，得,且     

設，則有，  （）

，且由題意 ，      ，

 又 ，即，，整理得，

將（）代入得，， 知上式恒成立，故直線的斜率的取值范圍是． ………12分