Question

已知實數(shù)m＞-1，則關(guān)于x的方程x³-6x²+9x+1+m=0的實根個數(shù)是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：令函數(shù)f（x）=x³-6x²+9x+1+m，本題即求函數(shù)f（x）的零點個數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的極值，結(jié)合單調(diào)性畫出函數(shù)的單調(diào)性示意圖，數(shù)形結(jié)合可得結(jié)論．

解答：解：令函數(shù)f（x）=x³-6x²+9x+1+m，
本題即求函數(shù)f（x）的零點個數(shù)．
由于f′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3），
顯然，在（-∞，1）上，f′（x）＞0；
在（1，3）上f′（x）＜0；在（3，+∞）上，f′（x）＞0，
故函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-∞，1）、（3，+∞），
減區(qū)間為 （1，3），
故函數(shù)的極大值為f（1）=5+m＞4，
極小值為f（3）=1+m＞0，
當(dāng)x趨于-∞時，函數(shù)值趨于-∞，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)性示意圖如圖所示：
故函數(shù)f（x）的零點個數(shù)為1，
故選B．

點評：本題主要考查函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．