Question

設函數y=f（x）在區間D上的導數為f'（x），f'（x）在區間D上的導數為g（x），若在區間D上，g（x）＜0恒成立，則稱函數y=f（x）在區間D上為“凸函數”已知實數m是常數，f(x)=

x4

12

-

mx3

6

-

3x2

2

（1）若y=f（x）在區間[0，3]上為“凸函數”，求m的取值范圍；
（2）若對滿足|m|≤2的任何一個實數m，函數f（x）在區間（a，b）上都為“凸函數”，求b-a的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得g（x）＜0在[0，3]上恒成立?

g(0)＜0 g(3)＜0

，解得m即可；
（2）令p（m）=g（x）=-xm+x²-3＜0對?m∈[-2，2]上恒成立?

p(-2)＜0 p(2)＜0

，即轉化為看作關于m的一次函數，利用其單調性即可解得x即可．

解答：解：f′(x)=

1

3

x3-

1

2

mx2-3x，g（x）=x²-mx-3．
（1）由題意可得g（x）＜0在[0，3]上恒成立，
∴

g(0)＜0 g(3)＜0

，解得m＞2．
∴m的取值范圍是（2，+∞）；
（2）令p（m）=g（x）=-xm+x²-3＜0對?m∈[-2，2]上恒成立，
∴

p(-2)＜0 p(2)＜0

，解得-1＜x＜1．
∴（b-a）_max=1-（-1）=2．

點評：正確把問題等價轉化和熟練掌握導數的運算法則、一次函數和二次函數等是解題的關鍵．