Question

設函數y=f（x）在（-∞，+∞）上滿足f（-x）=f（4+x），f（4-x）=f（10+x），且在閉區間[0，7]上，f（x）=0僅有兩個根x=1和x=3，則方程f（x）=0在閉區間[-2011，2011]上根的個數有

805

．

Answer 1

分析：根據周期函數性質可知，只需求出一個周期里的根的個數，可求得f（x）在[0，10]和[-10，0]上均有有兩個解，從而可知函數y=f（x）在[0，2011]上有404個解，在[-2011.0]上有401個解，綜合可得答案．

解答：解：由

f(-x)=f(4+x) f(4-x)=f(10+x)

⇒

f(x)=f(4-x) f(x)=f(14-x)

⇒f（4-x）=f（14-x）⇒f（x）=f（x+10）
又f（3）=f（1）=0⇒f（11）=f（13）=f（-7）=f（-9）=0
故f（x）在[0，10]和[-10，0]上均有有兩個解，
從而可知函數y=f（x）在[0，2011]上有404個解，在[-2011，0]上有401個解，
所以函數y=f（x）在[-2011，2011]上有805個解．
故答案為：805．

點評：本題主要考查了函數奇偶性的判斷，以及函數的周期性和根的存在性及根的個數判斷，屬于基礎題．