Question

設數列{a_n}中，an=1+2+3+…+n(n∈N*)，將{an}中5的倍數的項依次記為b₁，b₂，b₃，…，
（I）求b₁，b₂，b₃，b₄的值．
（II）用k表示b_2k-1與b_2k，并說明理由．
（III）求和：b₁+b₂+b₃+…+b_2n-1+b_2n．

Answer 1

分析：（I）由題意可得，b₁=a₄，b₂=a₅，b₃=a₉，b₄=a₁₀，代入可求
（II）由an=

n(n+1)

2

=5m(m∈N+)，可得n=5k或n+1=5k，則n=5k-1或n=5k，從而可得b_2n-1=a_5k-1，可求
（III）由題意可得，b2n-1+b2n=25n2，代入可求

解答：解：（I）∵a_n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

由題意可得，b₁=a₄=10，b₂=a₅=15，b₃=a₉=45，b₄=a₁₀=55；
（II）∵an=

n(n+1)

2

=5m(m∈N+)，
∴n=5k或n+1=5k（k∈N₊），
即n=5k-1或n=5k
∵b_2k-1＜b_2k，
∴b2k-1=a5k-1=

5k(5k-1)

2

，b_2k=a_5k=

5k(5k+1)

2

（III）由（II）可得，b_2n-1+b_2n=

5n(5n-1)+5n(5n+1)

2

=25n²
∴b₁+b₂+…+b_2n=（b₁+b₂）+（b₃+b₄）+…+（b_2n-1+b_2n）
=25×1²+25×2²+…+25n²
=25（1²+2²+…+n²）
∴b1+b2+…+b2n=

25

6

n(n+1)(2n+1)．

點評：本題主要考查了數列的通項及數列的求和，解題的關鍵是善于利用已知條件中的關系．