Question

已知方程x²＋y²－2(t＋3)x＋2(1－4t²)y＋16t⁴＋9＝0．

(1)t為何值時，方程表示圓？

(2)t為何值時，方程表示的圓半徑最大？請求出半徑最大時圓的方程．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)方程表示圓的條件是[－2(t＋3)]²＋[2(1－4t²)]²－4(16t⁴＋9)＞0，即7t²－6t－1＜0．解得＜t＜1．∴當＜t＜1時，方程表示圓．

　　(2)當＜t＜1時，方程表示圓，其半徑為

　　

　　

　　當t＝時，半徑有最大值，r_max＝，此時圓心坐標為(t＋3，4t²－1)，即()．故半徑最大時，圓方程為(x－)²＋(y＋)²＝．

提示：

　　(1)方程x²＋y²＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的條件是D²＋E²－4F＞0．由此得t的范圍．

　　(2)利用了二次函數在定義域上求最值得解．