Question

【題目】已知函數，.

（1）若直線與曲線和分別交于兩點直線，且曲線在處的切線與在處的切線相互平行，求正數的最大值；

（2）若有三個不同的零點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】分析：（1）問題可轉化為在有解，也就是在有解，考慮的圖像與直線有公共點即可得到參數的最大值.

（2）因為有三個不同的零點，所以函數必有兩個不同的極值點，也就是導函數必有兩個不同的零點，從而.我們還需要論證當，確有三個不同的零點，這可以通過零點存在定理和單調性來判斷.

詳解：（1）依題意，函數的定義域為，

，.

因為曲線在處的切線與在處的切線相互平行，

所以在有解，即方程在有解.

方程在有解轉化為函數與函數的圖象在上有交點.

令過原點且與函數的圖象相切的直線的斜率為，只須.

令切點為，則，又，所以，解得，

于是，所以，的最大值為

（2）由題意，則，

當時，∵，

∴在上為增函數，不符合題意.

當時，，令，則

.令的兩根分別為且，

則∵，，∴，

當時，，∴，∴在上為增函數；

當時，，∴，∴在上為減函數；

當時，，∴，∴在上為增函數；

∵，∴在上只有一個零點1，且，.

∴

.

∵，又當時，，∴

∴在上必有一個零點.

∴

.

∵，又當時，，∴.

∴在上必有一個零點.

綜上所述，故的取值范圍為.