Question

已知函數y=f(x)滿足f(x)=

(1)分別寫出x∈［０,１)時y=f(x)的解析式f₁(x)和x∈［1,2)時y=f(x)的解析式f₂(x);并猜想x∈［n,n+1］,n≥-1,n∈Z時y=f(x)的解析式f _n+1(x)（用x和n表示）（不必證明）；

(2)當x=n+ (n≥-1,n∈Z)時，y=f _n+1(x)x∈［n,n+1）,(n≥-1,n∈Z)的圖象上有點列A _n+1（x,f(x)）和點列B _n+1(n+1,f(n+1)),線段A _n+1B _n+2與線段B _n+1A _n+2的交點C _n+1,求點C _n+1的坐標（a _n+1(x),b _n+1(x)）;

(3)在前面（1）（2）的基礎上，請你提出一個點列C _n+1(a _n+1(x),b _n+1(x))的問題，并進行研究，并寫下你研究的過程.

Answer 1

解：(1)x∈［0,1)時，x-1∈［-1,0),

∴f₁(x)=f(x-1)+1=sinπ(x-1)+1=1-sinπx.

x∈［1,2)時，x-1∈［0,1),∴f₂(x)=f(x-1)+1=1-sinπ(x-1)+1=2+sinπx.

x∈［n,n+1),n≥-1,n∈Z時，

∴f _n+1(x)=f(x-1)+1=f(x-2)+2=n+1+(-1) ⁿ⁺¹sinπx.

(2)當x=n+,A _n+1(n+,n),B _n+1(n+1,n+2),,=1,

=4,=4.

C _n+1是平行四邊形A _n+1A _n+2B _n+2B _n+1的對角線的交點，C _n+1(n+,n+).

(3)第一類，例如：在（2）的條件下，點C _n+1與C _n+2之間具有怎樣的數量關系.

解答：C _n+1C _n+2=2,

第二類，例如：在（2）的條件下，在C _n+1與C _n+2之間具有怎樣的位置關系

解答：C _n+1與C _n+2在直線y=x+上.

第三類，例如：把（2）的條件x=n+改成x∈［n,n+1)時，點C _n+1a_n+1(x),b_n+1(x))的運動曲線是什么？

解答：

即y_c=只需寫出一個區間段上即可.