Question

11．若函數y=f（x）滿足f（a+x）+f（a-x）=2b（其中a，b不同時為0），則稱函數y=f（x）為“準奇函數”，稱點（a，b）為函數f（x）的“中心點”．現有如下命題：
①函數f（x）=sinx+1是準奇函數；
②若準奇函數y=f（x）在R上的“中心點”為（a，f（a）），則函數F（x）=f（x+a）-f（a）為R上的奇函數；
③已知函數f（x）=x³-3x²+6x-2是準奇函數，則它的“中心點”為（1，2）；
其中正確的命題是①②③．．（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

分析 在①中，f（0+x）+f（0-x）=2，得a=0，b=1，滿足“準奇函數”的定義；在②中，根據函數“準奇函數”的定義，利用函數奇偶性的定義即可證明函數F（x）=f（x+a）-f（a）為R上的奇函數；在③中，f（1+x）+f（1-x）=（1+x）³-3（1+x）²+6（1+x）-2+（1-x）³-3（1-x）²+6（1-x）-2=4，得點（1，2）為函數f（x）的“中心點”．

解答 解：在①中，∵函數f（x）=sinx+1，∴f（0+x）+f（0-x）=2，
∴a=0，b=1，滿足“準奇函數”的定義，故①正確；
在②中，若F（x）=f（x+a）-f（a），
則F（-x）+F（x）=f（x+a）-f（a）+f（-x+a）-f（a）=f（a-x）+f（a+x）-2f（a），
∵f（x）在R上的“中心點”為（a，f（a）），
∴f（a-x）+f（a+x）=2f（a），
即F（-x）+F（x）=f（a-x）+f（a+x）-2f（a）=0，
∴F（-x）=-F（x），∴函數F（x）=f（x+a）-f（a）為R上的奇函數，∴故②正確．
在③中，函數f（x）=x³-3x²+6x-2，
∴f（1+x）+f（1-x）=（1+x）³-3（1+x）²+6（1+x）-2+（1-x）³-3（1-x）²+6（1-x）-2=4，
∴點（1，2）為函數f（x）的“中心點”，故③正確．
故答案為：①②③．

點評 本題主要考查函數中心的定義的應用，綜合性較強，運算量量較大，難度較大．