Question

【題目】已知圓，圓，如圖，C1，C2分別交x軸正半軸于點E，A．射線OD分別交C1，C2于點B，D，動點P滿足直線BP與y軸垂直，直線DP與x軸垂直．

（1）求動點P的軌跡C的方程；

（2）過點E作直線l交曲線C與點M，N，射線OH⊥l與點H，且交曲線C于點Q．問：的值是否是定值？如果是定值，請求出該定值；如果不是定值，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）為定值，且為．

【解析】

（1）設，根據圓的方程求出的坐標，進而可得，，然后得出動點P的軌跡C的方程.

（2）設出直線l的方程為，聯立直線與橢圓的方程，利用韋達定理，結合弦長公式，轉化求解即可.

（1）設，則，，

所以，，

所以動點的軌跡C的方程為.

（2）由（1）可知E為C的焦點，設直線l的方程為（斜率不為0時），

且設點M（x1，y1），N（x2，y2），由，

得，

所以，所以，

又射線OQ方程為y＝﹣mx，代入橢圓C的方程得x2+2（my）2＝4，

即，，，所以，

又當直線l的斜率為0時，也符合條件.

綜上，為定值，且為.