Question

【題目】在平面直角坐標系中，點為橢圓：的右焦點，過的直線與橢圓交于、兩點，線段的中點為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線、斜率的乘積為，兩直線，分別與橢圓交于、、、四點，求四邊形的面積.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）設，，，，利用點差法求出直線的斜率為：，又直線的斜率為：，所以，得到，再結合，，即可求出，，的值，從而求得橢圓的方程；

（2）設點，，，，由題意可知，當直線的斜率不存在時，易求四邊形的面積，當直線的斜率存在時，設直線的方程為：，與橢圓方程聯立，利用韋達定理代入得，再由弦長公式和點到直線距離公式求得，由橢圓的對稱性可知：四邊形的面積為，從而得到邊形的面積為．

（1）由題意可知，，設，，∴，，

又∵點，在橢圓上，∴，兩式相減得：，

∴，即直線的斜率為：，

又∵直線過右焦點，過點，∴直線的斜率為：，

∴，∴，又∵，，∴，，∴橢圓的方程為：；

（2）設點，，

由題意可知，，即，①當直線的斜率不存在時，顯然，，

∴，又，∴，，

∴四邊形的面積，

②當直線的斜率存在時，設直線的方程為：，

聯立方程，消去得：，

∴，，

∴，

∵，∴，

整理得：，

由弦長公式得：，

原點（0，0）到直線的距離，

∴，

由橢圓的對稱性可知：四邊形的面積為，

綜上所述，四邊形的面積為.