Question

【題目】已知橢圓的離心率，橢圓上的點到左焦點的距離的最大值為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）已知直線與橢圓交于、兩點.在軸上是否存在點，使得且，若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）橢圓上的點到左焦點的距離最大值為a+c,再結合離心率可得a和c的值，再由可得橢圓方程；（2）將直線方程代入橢圓方程，利用弦長公式求得丨MN丨，由，P在線段MN的中垂線上，利用韋達定理求出中點D的坐標，寫出直線PD的方程，令x=0得，平方后即可求得m范圍；

（1）由題設條件可得，，

解得，，所以，，

橢圓的標準方程為：

（2）設，，

則整理得：，

則，

則，，

假設存在點滿足題意，，

則，

化簡整理得，

此時判別式 恒成立，

所以且，

設中點，則，，

由，則在線段的中垂線上.

因為，直線的方程為：，

令，則

∴

∴

∵，∴，∴

∴

∴或.

即：.